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2007年7月22日 (日)

高いところからどこまで見えるか。

 東京タワーの展望台からは、どれくらい遠くまで見えるだろうか。富士山頂からならどこまで見えるか。飛行機に乗ったときには、どれくらい遠くまで見えているのか。10km先なのか、50km先なのか、それとも100km以上先まで見えるのだろうか。
 ある高さのところから、見える範囲に限界が存在するのは、地球が丸いからである。もし、地球がまっ平らだったら、犬吠崎に行って、大きな望遠鏡でのぞけば、ハワイもアメリカ西海岸も見えるはずだ。しかし、どんなに晴れていても、犬吠崎からアメリカが見えないのは、地球が丸いからである。
 どのくらい遠くまで見えるかは、視点の高さと地球の半径によって決まる。非常に簡単な幾何学で、地球の半径と、三平方の定理さえわかれば、計算できる。計算のやり方は、手書きで書いたものを画像にして載せたのでご参照ください。

 結論を言えば、視点の高さを(m)、その視点から地平線までの距離を(km)とした場合、その関係は

   =3.57√

となる。高さ1mのところからは3.57km先まで見えるということである。
 いちいち計算するのが面倒という人のために、いろいろな高さでどのくらい遠くまで見えるかを代わりに計算した。その一覧表を以下に掲載する。

   高さ        見える距離
   1m        3.57km
   1.69m      4.64km
   2m        5.05km
   4m        7.14km
   9m        10.71km
   16m       14.28km
   25m       17.85km
   36m       21.42km
   49m       24.99km
   64m       28.56km
   81m       32.13km
   100m      35.7km
   144m      42.84km
   196m      49.98km   
   400m      71.4km
   900m      107.1km
   1000m     112.9km
   1600m     142.8km
   2500m     178.5km
   3600m     214.2km
   6400m     285.6km
   8100m     321.3km
   10000m    357km
   19600m    499.8km
   40000m    714km
   90000m    1070km
   160000m   1428km
   250000m   1785km

 一覧表を見てわかるように、ちょっと高いところに上っても、ある程度以上の高さではあまり劇的に遠くまで見えるようにはならない。これは、見える距離が、高さの平方根に比例するからである。
 この一覧表を見ていると、いろいろ興味深いことがわかる。たとえば…
 ●妙高高原スキー場から、日本海は見えるか。
 新潟県の妙高高原スキー場の最高地点は標高1800m超である。それ以外でも、少しリフトやゴンドラに乗れば1500mくらいのところまではいける。上記表によれば、標高1000mで113km先まで、標高1600mで143km先まで見える。妙高高原スキー場から日本海までの距離は、30kmくらい。ということは、ほかの山が邪魔しなければ、かなり余裕で日本海を見下ろすことができる。
 ●飛行機を使えば、2回、日没が見られる。
 日の入りは、太陽が地平線の向こうに沈むことを意味する。一覧表を見ると、身長が169cmだとすれば、4.64km先の地平線に日が沈むことになる。飛行機に乗ると、高度10000m付近を巡航する。高度10000m(10km)から日の入りを見た場合には、同様に考えれば357km先に日が沈むことになる。ここまではいいだろうか?
 地球は一日に一回回転しているので、太陽が当たっている範囲も、一日間でぐるっと地球を一回転する。その、太陽が当たっている範囲の西側の縁(日没を見ることになる人たちがいるところ)はどのくらいの速さで移動してるのか。東京がある北緯35度あたりでは緯線の長さ(真東に向かって地球を一周して戻ってくる道のりの長さ)は32800kmくらいである。だから、ざっくりと考えると、太陽の当たる範囲が東京あたりを通過する速度は、32800÷24=時速1370kmくらいだ。ということは、地上で日没を確認し、すぐ一気に飛行機で上昇して、10分くらいで高度10000mに達すれば、その日の日没を2回見ることができることになる。
 しかし、飛行機に乗ると、350km以上先まで見通せるというのはすごい。東京上空から名古屋あたりまでは300km圏内だから、見えてしまうことになる。
●さらにこの論を展開させて、月の地平線についても考えてみよう。式の形からわかるように、地平線までの距離は、惑星の半径の平方根に比例する。月の場合、半径は地球のほぼ4分の1、1797.4kmである。地球でやったのと同じように計算すると、地上1mから月の地平線までの距離は、1.896kmということになる。身長が169cmならば、月の地平線までの距離は2.465km。地球のほぼ半分くらいの距離だ。月の地平線から地球が昇るところをアポロの乗組員が撮影した有名な写真があるが、あの写真にある月の地平線は、ほぼ2.5kmの距離にあったことになる(http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/lunar/images/a11earthrise.jpg)。

 最後に、東京タワーの展望台と、富士山頂から見える距離を算出しておしまい。
 
  東京タワー大展望台     150m  →地平線までの距離は43.7km
  東京タワー第二展望台   250m   → 56.4km
  富士山頂           3776m  → 219km

  *計算のしかた

8554082

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