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カテゴリー「距離・長さ」の記事

2013年7月21日 (日)

時速3000kmで歩くたかしくんはどんだけでかいのか?

 2chのまとめサイトばっかり見ているのですけれど、先日、以下のようなものがありました。

暇人\(^o^)/速報 : たかしくんは時速3000kmで歩いています - ライブドアブログ 暇人\(^o^)/速報 : たかしくんは時速3000kmで歩いています - ライブドアブログ

今回は、このたかしくんの足の長さはどれくらいなのか、を考えてみることにします。
カギは、「歩いていた」というところで、つまり同時に両足が浮くことはないという条件を満たして、時速3000kmを達成しなければなりません。
そこで歩行の単純なモデルを考えます。以下の図をご覧ください(クリックすると拡大)。
Photo この図で状態Aは両足がそろっている瞬間、状態Bは出した片足が着地した瞬間です。この間に、重心は前に距離Dだけ移動し、同時に高さHだけ下方に移動します。

秒速vメートルで移動してるなら、この間にかかる時間は(D/v)秒ですね。重要なのはここからです。状態Aでは重心の鉛直方向の速度はゼロ。状態Bに移行するにあたり、重心はHだけ下がる必要がありますが、このHの移動を自由落下にかかる時間よりも短く済ませることはできません。そのばあいには両足が浮いてしまうことになり、「歩く」ではなく「走る」ことになってしまうからです。つまり

1


という条件を満たさなければなりません。重力加速度をgとすると、高さHを落ちるのにかかる時間t1は、

2

となります。
一方、歩く速度をvとすると、水平方向距離Dを進むのにかかる時間t2は

4_2
足の長さをL、股の角度をαとすると、HとDは以下のように表されます。
3
これでt2<t1となる不等式をくみ上げると、

5

両辺とも正であることは明らかなので、

6_2

これを足の長さLについて整理すると、

7

となります。
さて、この式から何がわかるでしょうか。
まず、速度を上げようとすると、足の長さは速度の2乗で長くしなければならないことがわかります。速度を2倍にしたかったら、足の長さは4倍にする必要があるのです。
また、同じ足の長さでスピードを上げようと思ったら、なるべく小股で(αを小さくして)素早く足を運んで歩く必要がある、ということです。たしかに、競歩の選手は大股で歩かず、小股で歩いています。それにはこのような物理的な合理性があると言うことですね。大股で歩くと両足が浮いてしまうのです。

今、知りたいのは、たかしくんの足の最低必要な長さ、下限です。非常に小股で歩くとして、αは近似的にゼロであると考えると、数式はすごく簡単になります。

8_2

ここで、vは時速3000km、つまり秒速は833.3m、重力加速度gは9.8m/s^2で計算すると、たかしくんの足の長さは、最低でも、70.86km必要であることがわかります。

競歩の選手は身長1.7mほどで1分間に250m、つまり秒速で4.2mで歩くそうです。秒速833.3mとは200倍の開きがあるので、単純に身長も200倍すれば、340m、足の長さはその半分くらいだから170mということになりそうですが、それではぜんぜん足りないということです。
先に述べたように、足の長さは、歩く速さの2乗で長くする必要があるので、200倍速く歩くためには40000倍の足の長さにする必要があります。競歩選手の身長1.7mに40000をかけると68km、足の長さを半分とすると34kmとなりますね。
さっきの推定の半分ほどになってしまいますが、これは計算の前提としたモデルが単純すぎるからでしょう。競歩選手は実際には腰を左右に振ることで歩幅を稼いでおり、上記モデルに反映されていないこの効果がけっこう大きいということなのだと思います。

 

2012年9月 3日 (月)

iPhoneを使って、ビルや山などの高さを測る方法

 今回は出版とかにまったく関係ない、高さを測る話をします。
 このブログも、ときどき検索をかけてみてくれる方がいらっしゃるのですが、なんだか多いのが「高いところからどこまで見えるか。」だったりします。高さと距離の関係とか、単純ですがわかると感動があるんですね。
 そこで、今回は、ちょっと遠くに見えるビルや、煙突、山などの高さを調べる方法を考えたのでそれについて書きたいと思います。
 やり方は簡単です。用意するモノは、iPhoneだけ。手順は以下の要領です。

  1. 測りたい対象の頂点の仰角を測ります。仰角とは見上げたときの角度です。これを測るには、iPhoneに、angle meterというアプリをインストールします。これはiPhoneのカメラで対象を捉えたときの本体の傾きを検知して仰角を出してくれるアプリです。以下を参照してください→angle meterのページ ちなみに、画面キャプチャはこんな感になります。
    Img_0509
    このときの仰角をαとします。
  2. その地点から、対象の方に向かってまっすぐ移動し、移動距離を測定します。歩幅を使ったり、長距離を移動する場合は地図上で移動距離を算出してもいいでしょう。このときの距離をaとします。
  3. 移動した先でも、対象の仰角を測ります。このときの仰角をβとします。
  4. ここまでで得た、α、β、aを使って、対象の高さhを求める式が以下のものです。

Takasashiki  こういう式を計算できるための関数電卓アプリもiPhoneアプリにはたくさんありますから、適当なモノをインストールしておきましょう。
 一連の測定と高さの関係を、もう少しわかりやすく図に表すと以下のようになります(クリックすると拡大)。

Photo_2
 しかし、この数式は何を意味しているのでしょうか。これは三角形の2角とその間の辺の長さから三角形の面積を求める公式を応用したものです。2角1辺から求めた面積は、1辺と三角形の高さによって求めた面積と等しい、という関係を利用しています。公式の原型を見たければ、こちらをご覧ください。

 この測定の精度は、aを大きく取るほど、また仰角が45度付近であるほど高くなります。これでいろんなモノの高さを調べてみましょう。レッツ測定!

2008年2月 8日 (金)

電車の数字

数のことを考えると、電車というのはネタの宝庫である。私は特に鉄道好きではありませんが、こういう数字について考えていると、電車マニアの気持ちも少しわかる気がする。

●電車には何人乗れるか。
たとえば山手線の定員は何人か、知っているだろうか。数えてみればいい。4つドアの車両は、前後方向にも左右方向にも対称にできている。ということは、車両の座席と吊革の数を4分の1の区画について調べて、それを4倍すればいいことになる。すると、その区画には3人掛けの椅子が1つと、7人掛けの椅子が1.5個(つまり右列と左列に、3つずつある)、吊革は25本くらいある。この合計は、
  3+7×1.5+25=38.5
となるので、これを4倍すると、1両あたりの定員は154名程度とわかる。同じようにして山手線で見かける6つドアの車両(朝は椅子が閉じられているアレ)も同じように数えてみると大体196人くらいが定員のようだ。山手線は11両編成で、そのうち10号車と7号車が6つドア。ということは、1編成あたりの定員は、
  9×154+2×196=1778(人)
ということになる。山手線以外のたとえば総武線や中央線のような電車は10両編成で4つドアの車両のみなので、定員は1540人ということになる。

●1時間あたり多い時で何人くらいが乗降するか
 山手線の場合、多いときでは、一時間に24本の頻度でホームに入るのだそうだ。たとえば、新宿駅で、ラッシュ時に、どの電車からも定員の半分の人が降りてきたとすれば、1時間あたりの降車人数は21336人。内回りと外回りがあるから単純に2倍しても42672人という計算になる。1分あたりに直すと、711人である。
 中央線快速は一時間に30本が運転されるのだという。これも同じように定員の半分の人が降りると考えるとどうなるか。4つドア10両編成なので、降車人数は23100人(中央線は上りが混むときは下りは混まないので、2倍にしないで考える)。1分あたりでは385人。
 実際にはラッシュ時の乗車率は100%を超えているので、これよりずっと人数は多いと思われる。上で計算したのは降車する人の数だけだが、同じだけ乗車人数もいるとすれば倍になる。JR新宿駅の乗降客数は日本一で、一日当たり平均でだいたい76万人だとのこと。

●乗り降りにどれくらいかかるか。
 もし、山手線が150%の乗車率で新宿駅に到着し、そこで半分の人が降りて、あらたに同じだけの人が乗り込んだとした場合、だいたい乗り降りにどれくらいかかるだろうか。
 駅で地道に自分で観察し、計測したところ、一つのドアから無理せずに出入りできる人数は、1秒あたり1.5人程度のようだ。これは乗る時も降りる時もほぼ同じである。ただし、極端に混雑して乗車率が高いときは、降りるのにも乗るのにももっと時間がかかるが。
 山手線は11両編成で、うち6ドアが2両、4つドアが9両なので、ドアの数は合計で48。これを使って定員1778人の1.5倍、2667人が乗り降りすると考えると、この場合は1ドア平均56人が乗降することになり、平均の乗り降り時間は37秒と計算される。しかし、実際には乗客が偏るので、どこかのドアではそれより時間がかかることになる。これを考慮すればと、停車時間は1分程度になるのではないか。まあ、実際ラッシュの山手線を見ていればそのくらいになっている。
 山手線が最大で1時間に24本運転されているとすれば、これは150秒ごとに電車が到着することを意味する。こう考えると、1時間に24本の運転というのはかなりギリギリで、これ以上運行数が増えても減っても、ダイヤが乱れるかもしれない(ちなみに中央線快速の1時間当たり30本というのが実現している秘密は、ホームを2本使っているからだとのこと)。

本日はこんなところで。

2008年1月 4日 (金)

飛んだノコギリの初速は時速何キロだったか

 もうずいぶんと前のことになるが、07年11月、松山市で空からノコギリの破片が降ってきたという事故があった。当初、どこから来たのかわからなかったその破片は、しばらくして落下地点の鉄工所から500メートル離れたところにある製材所から飛んできたものだということが明らかになった。
 ノコギリが高速運転中に破損し、その破片がものすごい勢いではねとび、製材所の屋根を破って空に打ち出された。そして500メートル離れた鉄工所まで飛んでいき、さらに、その鉄工所の屋根を突き破り、落ちてきたのである。
 さて、このとき、「高速運転」だったというノコギリの運動の速さは、最低でどのくらいだったと考えられるだろうか。
 何かを遠くに投げるとき、空気抵抗や風の影響を無視すれば、45度の角度で射出した時にいちばん遠くまで飛ぶ。このノコギリの破片も45度の角度で飛び出し、空気抵抗の影響を受けずに放物線を描いて500メートル先まで達したと考えよう。
 詳しい計算は、写真に示すが、射出角が45度のとき、射出される物体の初速を秒速 メートル、飛距離を メートル、重力加速度を とすると、それらの関係は以下のように表される。

  

=√( gx ) 、 ^2/

 ここでは、重力加速度を10 m/s^2 として考え、飛距離 に500メートルを代入すると、初速は秒速70.7メートル、すなわち時速に直すと254.5キロである。ちなみに滞空時間は10秒間、最高到達点は125メートルという計算になる。
 意外に感じるかもしれない。もっと速くないと、そんなに遠くまで届かない気がするのではないだろうか。
 ボールの遠投のときの実感から類推してみれば納得できるはずだ。野球の公式ボールでの遠投の場合、ちょっと野球の心得がある人でも、なかなか100メートル以上は投げられない。100メートル投げるためには、計算式から初速は時速113キロ以上でなければならないことがわかる。人類最速のピッチャーの球速が時速160キロくらい、秒速にして44.4メートルだとすれば、上記の式に当てはめると遠投の飛距離はほぼ200メートルになる。100メートル遠投で113キロ、200メートル遠投で160キロ。つまり、飛距離を倍にするために、初速は倍にする必要はないのだ。初速の2乗に比例して飛距離は伸びていく。
 いずれにしろ、ノコギリを時速250キロ以上のスピードで動かすなんて、すごいというか、恐ろしいこととお考えになる方は多いだろう。普段のわれわれの生活のなかに、そんな高速に動くものなんて、そう存在するものじゃないから…、と思うかもしれない。しかし、それもそうではないのだ。現代に生きるわれわれは、物理的に高速に運動するものを日々使用しているのである。たとえば、ハードディスクだ。3.5インチハードディスクは最近は毎分7200回転のものが普通である。3.5インチHDDの直径はセンチに直すとほぼ8.9センチ。これが毎分7200回転しているとすれば、その外縁部のスピードは、時速117キロメートルに相当するのである。
 まだこんなもので驚いてはいけない。最近のCD-ROMドライブは最大で54倍速というものまである。この54倍速CDが回るとき、外縁部のスピードはどのくらいになるのか。CDの規格によれば、通常速での読み取りのときには、読み取っている部分が秒速1.2~1.4メートルで動くよう回転が調節されるという。 つまり、内側を読み取るときには速く回転し、外側を読み取るときは遅く回転することになる。控えめな見積もりで、外縁部近くを読み取るときにのみ、最大読み取り速度の54倍速が実現されるのだと考えると、そのときの外縁部の速度は1.4×54で、秒速76メートルほど、時速に直すと272キロである。さっきのノコギリより、速い! さらに、もし、中心に近い部分を読み取るときにも54倍速が実現するのだとすれば(たぶんありえないが)、ざっと計算して、データが書き込まれている最も内側の部分の半径と、CDの外縁の半径は2.5倍くらい違う(内側部分が半径約2.4センチ、いちばん外側は半径6センチ)から、そのときの外縁部の速度はなんと時速680キロということになる。高速なCDドライブが恐ろしい音を立てていることがあるが、あの音の恐ろしい感じには、物理的な現実が伴っていたのである。
 もし680キロで回転するCDが割れて45度の角度で射出され、ありえないことではあるが、何の空気抵抗も受けずに飛んでいったとすれば、その飛距離はほぼ3.6キロになる。すさまじい。
 しかし、実際、CDが回転中に割れることなんてあるのだろうか。回転時の遠心力を考えてみよう。外縁部が272キロのスピードになるという控えめな見積もりの場合でも、そのときにかかる遠心力は、なんと重力の9500倍になる。これは、1グラムのものが9.5キロの重さに相当する力で引っ張られるということだ。680キロ出ているのなら、重力の6万倍近い遠心力がかかる。これは同様に、1グラムのものが60キロの重さに相当する力で引っ張られるということ。たぶん、このあたりからもうちょっといったら、CDは割れるだろう。CDの読み取り速度に限界があるのは、光デバイスの性能のためでも、コンピュータの処理速度のためでもなく、CDが作られている材料の引っ張り強度に限界があるためなのかもしれない。

2007年12月25日 (火)

月と同じ大きさに見えるものの大きさって?

まあ、ガスと電気の話は、また今度にさせてください。めんどくさくなって来ました。

 満月の夜、月を見上げると、その前をゆっくりと雲が動いたりすることがあります。優雅な雲の流れですが、いったいあの雲は、どのくらいの速さで動いているのか、気になりませんか? 気になるでしょう。
 または、月が地上近くにあるとき、遠くの建物越し、あるいはもっと遠くの山のきわ越しに月が見えるとき、遠くの建物、あるいはさらに遠くの山はどのくらいの大きさなのか、ということも気になるでしょう。
 今回は、見かけの大きさが月と同じものが、実際にはどのくらいの大きさになるのかを考えてみる。
 物体までの距離と、その見かけの大きさ(視直径=見た目の角度)がわかれば、物体の実際の大きさが算出できるはずである。計算の仕方は、例によって写真を参照してください。角度が θ の時の の比がわかれば、大きさを知る手がかりとなる、というわけです。
 月の視直径は、31分06秒、ほぼ0.5度。このとき、月までの距離と直径との比l/dは、
   0.00905
 となる。つまり、100m先にある、月と同じ視直径の物体の大きさは、0.905mだということだ。
 以下、計算が面倒な人のために、一覧にして示す。

見かけの大きさが月と同じ物体の大きさ
物体までの距離  物体の大きさ
  100m        0.905m
  500m        4.5m
  1000m        9m
  5000m        45m
  10000m       90m
   50km        450m
   100km       900m
   150km       1350m
   200km       1800m
   300km       2700m
   1000km       9km
  384400km      3478km

 最後のは、月の軌道半径と、月の大きさ。
 このように見ていくと、月と同じ大きさに見えるものの実際の大きさは、意外と大きくないような、大きいような、微妙な感じ。月にかかる雲ので考えてみよう。雲が、まあだいたい3000mくらいの距離にあるとしたら、月の端から端まででかかっていたとしても、その雲の幅は27m。雲が月の前をゆっくり流れるのに5秒くらいかかるとしたら、そのときの上空の風は秒速5.4mということになる。自転車で走ってるくらいの感じだろう。直感的な感覚と、あまりズレはない。

 ところで、このような距離と大きさの関係は、単純な比例で、月がないときでも、別のものに応用が利く。たとえば、手をいっぱいに伸ばし、手首を90度に起こして指を立て、片目をつぶって見る。そのときの眼と中指の距離と、中指の太さの比を算出すれば、そのときの中指の視直径と同じ視直径をもつ遠くの物体の大きさを算出できる。
 ちなみに自分の場合でそれを測ってみると、眼と中指の距離は55cmとなり、中指の太さは1.8cmだった。この比率は、計算すると0.033となる。つまり、このように中指をかざしたとき、見かけの大きさが中指と同じで、10m先にあるものは、33cmということになる。同じように、50m先だったら165cmだ(系統誤差が発生するはずなので、信頼度はさほど高くないと思われるが)。
 逆に、大きさがわかっているものの場合なら、この「中指物差し」で大きさを測れば、その物体までの距離も逆算できる。ゴルフする人なんか、ピンまでの距離を測るのに便利かもしれませんね。

 

2007年7月22日 (日)

高いところからどこまで見えるか。

 東京タワーの展望台からは、どれくらい遠くまで見えるだろうか。富士山頂からならどこまで見えるか。飛行機に乗ったときには、どれくらい遠くまで見えているのか。10km先なのか、50km先なのか、それとも100km以上先まで見えるのだろうか。
 ある高さのところから、見える範囲に限界が存在するのは、地球が丸いからである。もし、地球がまっ平らだったら、犬吠崎に行って、大きな望遠鏡でのぞけば、ハワイもアメリカ西海岸も見えるはずだ。しかし、どんなに晴れていても、犬吠崎からアメリカが見えないのは、地球が丸いからである。
 どのくらい遠くまで見えるかは、視点の高さと地球の半径によって決まる。非常に簡単な幾何学で、地球の半径と、三平方の定理さえわかれば、計算できる。計算のやり方は、手書きで書いたものを画像にして載せたのでご参照ください。

 結論を言えば、視点の高さを(m)、その視点から地平線までの距離を(km)とした場合、その関係は

   =3.57√

となる。高さ1mのところからは3.57km先まで見えるということである。
 いちいち計算するのが面倒という人のために、いろいろな高さでどのくらい遠くまで見えるかを代わりに計算した。その一覧表を以下に掲載する。

   高さ        見える距離
   1m        3.57km
   1.69m      4.64km
   2m        5.05km
   4m        7.14km
   9m        10.71km
   16m       14.28km
   25m       17.85km
   36m       21.42km
   49m       24.99km
   64m       28.56km
   81m       32.13km
   100m      35.7km
   144m      42.84km
   196m      49.98km   
   400m      71.4km
   900m      107.1km
   1000m     112.9km
   1600m     142.8km
   2500m     178.5km
   3600m     214.2km
   6400m     285.6km
   8100m     321.3km
   10000m    357km
   19600m    499.8km
   40000m    714km
   90000m    1070km
   160000m   1428km
   250000m   1785km

 一覧表を見てわかるように、ちょっと高いところに上っても、ある程度以上の高さではあまり劇的に遠くまで見えるようにはならない。これは、見える距離が、高さの平方根に比例するからである。
 この一覧表を見ていると、いろいろ興味深いことがわかる。たとえば…
 ●妙高高原スキー場から、日本海は見えるか。
 新潟県の妙高高原スキー場の最高地点は標高1800m超である。それ以外でも、少しリフトやゴンドラに乗れば1500mくらいのところまではいける。上記表によれば、標高1000mで113km先まで、標高1600mで143km先まで見える。妙高高原スキー場から日本海までの距離は、30kmくらい。ということは、ほかの山が邪魔しなければ、かなり余裕で日本海を見下ろすことができる。
 ●飛行機を使えば、2回、日没が見られる。
 日の入りは、太陽が地平線の向こうに沈むことを意味する。一覧表を見ると、身長が169cmだとすれば、4.64km先の地平線に日が沈むことになる。飛行機に乗ると、高度10000m付近を巡航する。高度10000m(10km)から日の入りを見た場合には、同様に考えれば357km先に日が沈むことになる。ここまではいいだろうか?
 地球は一日に一回回転しているので、太陽が当たっている範囲も、一日間でぐるっと地球を一回転する。その、太陽が当たっている範囲の西側の縁(日没を見ることになる人たちがいるところ)はどのくらいの速さで移動してるのか。東京がある北緯35度あたりでは緯線の長さ(真東に向かって地球を一周して戻ってくる道のりの長さ)は32800kmくらいである。だから、ざっくりと考えると、太陽の当たる範囲が東京あたりを通過する速度は、32800÷24=時速1370kmくらいだ。ということは、地上で日没を確認し、すぐ一気に飛行機で上昇して、10分くらいで高度10000mに達すれば、その日の日没を2回見ることができることになる。
 しかし、飛行機に乗ると、350km以上先まで見通せるというのはすごい。東京上空から名古屋あたりまでは300km圏内だから、見えてしまうことになる。
●さらにこの論を展開させて、月の地平線についても考えてみよう。式の形からわかるように、地平線までの距離は、惑星の半径の平方根に比例する。月の場合、半径は地球のほぼ4分の1、1797.4kmである。地球でやったのと同じように計算すると、地上1mから月の地平線までの距離は、1.896kmということになる。身長が169cmならば、月の地平線までの距離は2.465km。地球のほぼ半分くらいの距離だ。月の地平線から地球が昇るところをアポロの乗組員が撮影した有名な写真があるが、あの写真にある月の地平線は、ほぼ2.5kmの距離にあったことになる(http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/lunar/images/a11earthrise.jpg)。

 最後に、東京タワーの展望台と、富士山頂から見える距離を算出しておしまい。
 
  東京タワー大展望台     150m  →地平線までの距離は43.7km
  東京タワー第二展望台   250m   → 56.4km
  富士山頂           3776m  → 219km

  *計算のしかた

8554082

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