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カテゴリー「確率」の記事

2009年12月27日 (日)

バイク盗難保険に入るべきか?

 今年もバイクの盗難保険の更新の時期となり、保険会社からご案内が来た。あまり深く考えずに、更新してしまった。しかし、それで本当によかったのだろうか? 今回はその妥当性について、考えてみましょう。

 

私が加入したのはJBRという会社の「バイクよくばりあんしん倶楽部」というもので、盗難保険にバイクのロードサービス(路上で故障して動けなくなったときにレッカー移動してくれるサービス)が付いた商品である。

 その保険の概要は以下の通り。

  1. 年間の保険料(年会費)は4万円
  2. 盗難時の補償は93万円(所有車両の中古市場の相場価格が補償される)。ただし、盗難にあっても保険金は現金では支払われない。次回の車両購入の補助としてしか使えない。保険金は、バイクを購入するバイクショップに直接払い込まれる。
  3. 盗難補償のほかにパーツ盗難補償が最大20万円まで補償される。
  4. バイクのロードサービスは最大200kmまで無料
  5. メンテナンスクーポン券2000円分が加入者に送付される。

 3~5の項目は加入者にとってはおまけみたいなもので、 重要なのは1と2である、と思われる。これについて検証してみよう。

 保険料の金額が妥当なものなのかどうか、確率から考えてみる。もし、保険がフェアなもの(保険会社がまったく利益をとらない場合、ということ)であれば、保険の価格は以下の式によって決定されるはずである。

《年間保険料》=《盗難時の補償金額(保険金)》×《1年間に盗難にあう確率》

 つまり、保険料は「発生する補償金額の期待値」に等しいはずだ。今の場合、年間保険料は4万円、補償金額は93万円なので、簡単に《1年間の盗難確率》は算出できる。

《1年間に盗難にあう確率》=《年間保険料》÷《盗難時の補償金額(保険金)》

                =40000円÷930000円=4.3%

 上記の数字は、「保険がフェアなものであると仮定して、保険料率から推定した盗難確率」である。これがもし、実際の盗難確率と等しい場合、損得は生じない計算になる。そうではなく、実際の盗難確率がこの値より小さければ、長い間保険に入り続けると損が膨らんでいくことになる(保険会社は儲かる)。さて、では実際の盗難確率はどのくらいなのだろうか。

 警察庁の統計によると平成20年のオートバイ盗難の件数は80,354件である(警察白書)。かたや、平成20年時点の2輪車の登録台数は、250cc未満が1,976,829台、250cc以上が1,478,724台で合計3,455,553台である(全国軽自動車協会連合会による)。とすると、平均の盗難確率は、80,354÷3,455,553で2.3%となりそうに思える…。が、警察庁の定義によるオートバイ盗難には原付の盗難も含まれているのだ(ネット上にはこの点を誤解している記述が結構多いようだ)。

 そこで原付の登録台数も調べようとしたところ、国土交通省は原付の登録台数の集計を2006年でやめてしまっていることが判明。現在の国交省サイトの統計資料には2006年以前の数値も出ていない。総務省が課税対象となる原付の台数の統計を持っているはずだが、ネットの検索では引っ掛かってこなかった。でも、市町村単位の登録データは各自治体が公表しており、いくつか見たところでは、原付の登録台数は自動2輪の3.5倍程度らしい。つまり、全国の原付の数は1000万台ほどと考えられる。ということは、警察庁のいうところの「オートバイ」は全国で1350万台くらい、うち盗難にあうのが年間8万台程度なので、盗難の確率は0.6%ほどということになる(あくまで平均値。車種ごとに調べれば相当の凸凹があるはずだが…)。

 これは、上記で推定した「保険がフェアだった場合の推定盗難確率」の4.3%とはえらい違いである。

 実は、バイク盗難はここ数年で劇的に減少している。平成12年には現在の8万台程度よりも3倍も多い、25万台もの盗難があった。その後、バイクにイモビライザーがつけられるようになったことが大きな原因だと思われるが、劇的に盗難件数が減ったのである。

 盗難件数が非常に多かったころの年間の盗難確率は、現在の0.6%の3倍以上、2%程度だった計算になる。そのころならば「保険がフェアだった場合の推定盗難確率」=4.3%との乖離は2倍ちょっということになる。乖離が大きいほど保険会社は儲かる。保険会社も営利でやっているのだから、正当な報酬として利益をのせていると考えると、2倍ちょっとの乖離は、まあ妥当だったかもしれない。しかし、現状の盗難確率0.6%程度と推定値との乖離はあまりに大きい。なぜこのようなことがまかり通り、バイク乗りは保険料を払い続けるのだろうか(自分のことですけど)。

 バイク保険加入者は、過去の盗難の経験が忘れられず、「羹に懲りて」、保険に加入しているということだろうか。かくいう私も4年ほど前にバイクを盗まれた。その時もJBRの盗難保険に入っていたから、おかげで今のバイクを買うことができた。その経験から、あまり考えることなく盗難保険を継続したが、盗まれたバイクにはイモビライザーが付いておらず、今のバイクには付いている。このあたりのことを考えると、保険継続が妥当だったのかどうか、疑問が出てくる。

 じゃあ、JBRは儲けすぎているのか?

 JBRの決算資料を見てみると、2009年9月期のバイク会員からの売上総計は10億8100万円で売上総利益率は46.7%だそうだ(販売管理費などの費用は含まない粗利率のこと)。この粗利益率は暴利といえるほどのものなのだろうか? ちょっと参考のために、同業他社といえるかどうか微妙ではあるが、ソニー損保のデータと比較してみよう。ソニー損保のIRデータでは、全保険料に対する「正味損害率」を公表していて、2008年は55%だった。正味損害率は「1-売上総利益率」なので、ソニー損保の売上総利益率は45%ということになり、JBRの値とあまり変わらない。盗難確率の低さから考えると、JBRの粗利率は業界標準よりずっと高くていいような気もするが、そうでもないようだ。これはどういうことだろうか。

 ここで最初から考えなおして、妥当な保険料を求めてみよう。

 もし、年間盗難率が本当に0.6%だとして、補償額が93万円だった場合、フェアな保険料は、

93万円×0.006=5580円

となる。しかし、JBRも利益を上げなければならない。その粗利率が45%だとすれば、保険料は、

93万円×0.006÷(1-0.45)=10145円

となる。でもまあ粗利率の算出には再保険料(保険会社がリスク分散のために別の保険会社から保険を買う費用)や、調査費(保険金詐欺じゃないかどうか調べたりする費用)も入る。その分を乗っけるとすると、妥当な金額は15000~20000円程度だろうか。それを超えるとはちょっと考えづらい。でも実際の年会費は40000円である。となると、残りの部分はロードサービスに対して支払われていると考えるしかない。

 私は保険業界の人間ではないので、以上のことからあくまで推定するだけであるが、JBRのサービスの中核は、実のところ、上記の2の盗難保険ではなく、ロードサービスなのだと考えたほうがいいだろう。つまり、「よくばりあんしん倶楽部」という商品は、実質的には2万円弱のサービスである盗難保険と、2万円強のロードサービスのセット販売だと考えるべきじゃないだろうか。しかし、ロードサービスに年2万円以上払う価値があるかどうか、微妙なところだ。バイクの任意保険にレッカーサービスが既に付いている場合には、まったく意味はない。ロングツーリングに頻繁に出かける機会のない人も、あまりメリットがないかもしれない。

 このように考えると、自分の場合、来年は盗難保険に入るべきではないような気がしてくる。結局は「競争」がない、えらべる商品の種類があまりないということが不満の種になってくる。

 現在の日本で、バイクの盗難保険を大々的に扱っているのは、JBRだけ。独占といっていいだろう。もし、ここに競争が働いていれば、ロードサービスなしで盗難保険のみの安い商品や、イモビライザー付き車両では保険料を割り引くなどの商品を提供する会社がも出てきていいかもしれない。でも、市場が小さい(年売り上げが10億円規模)ので、新規参入もしづらい。ここが苦しいところ。

 しかし、贅沢を言ってはいけないのかもしれない。JBRが盗難保険をはじめる前には、バイクの盗難保険はもっとさらに悪条件のものしかなかった。バイク所有者がそこそこまともなバイクの盗難保険に入ることができるようになっただけでもありがたいと思うべき、とも考えられるだろう。JBRが盗難保険をはじめたのは、もっとずっと盗難確率が高い時代だったわけだし、あえてリスクをとって参入したJBRは、今まさに先駆者にふさわしい利益を得ているとも考えられる。JBRのバイク部門の粗利率は5年ほど前は40%程度だった(同社資料より)。その後の会員増によるスケールメリットと、盗難率の段階的な低下により、粗利率は5ポイント以上も上昇した。JBRがこのことを盗難保険参入時に予想していたとは考えづらい。参入したJBRの勇気には敬意を払うべきだと思うし、それに対する見返りは得て当然だ、という人もいるだろう。とはいえ、一消費者としては、若干の不満が残るというのが正直なところだ。

*さいごにご注意* 以上の議論では、単純化して、いくつかの要素を無視している。そのひとつがパーツの盗難保険料。これも保険料に含まれるはずだが、たいした額にならないと考えて無視した。それから、盗まれたバイクが戻ってきた場合の「回収率」も計算に入れていない。警察の統計によれば、盗まれたバイクのうち35%程度は何らかの形で戻ってくる。保険の約款によれば、保険金が支払われた後で発見されたバイクの所有権はJBRにある。JBRは戻ってきたバイクを中古市場で売ることで、いくらかの金を回収できる。だから、JBRは支払った保険金のすべてを失うわけではなく、平均すると何%かは回収できるはずである。この分も本来なら「妥当な保険料」の計算に入れなければならないが、これもたいした金額にはならないと考えて、無視した。

2008年4月 6日 (日)

中国あり得ない!の件

*2009年9月23日注記 Z値の説明のために使っていたヒーロー君とメガネ君の勝負の例が、統計学的に不適切だった(正規分布を適用するのに無理があった)のに気付いたので、別の例に変えました。

 今回は、中国における男女の出生率の違いが、どのくらいひどくあり得ないことなのか、考えてみるのがテーマです。でも、まずはその前に、確率の基礎の話をしなければいけません。

 マンガなんかではよく、不可能を可能するオトコがヒーローになったりする。絶体絶命のピンチで、恐ろしいまでの引きの強さを見せて、勝っちゃう人。それを見て、ライバルのメガネ君がこう言ったりする。

 「そんな…! そんなの確率的にありえない!」

 たぶん、メガネ君は何らかの方法で確率を計算し、自分がほとんど勝てるという確信を持っていたのだろう。勝てる確率とか負ける確率とか、あり得る確率とかあり得ない確率とか、そういう手の確率の計算は、マンガの中だけの話とお思いの方も多いかもしれませんが、状況によっては、まあ、そんなに難しくなく導けるものだ。

 確率的にあり得るかあり得ないか、を計算する方法の一つにz検定というのがある。まずは、z検定について、ヒーロー君とメガネ君が、コイン投げを使ってゲームするという例で、説明しよう。

 二人のゲームが進行していくにつれ、どんどんとメガネ君が得点を重ねてリードしていった。最後の最後、点差は決定的に開き、ヒーロー君が勝つには500枚のコインを投げるゲームで、300枚以上を表にしなければならなくなった。しかし、ヒーロー君はこの難関を突破し、実際に500枚のコインを投げて、うち300枚以上を表にすることに成功してしまった。そこでメガネ君は、「そんな…! そんなの確率的にありえない!」と叫ぶことになるわけだが、さて、この確率はどのくらいあり得ないものなのか、計算してみる。

 コインを投げて表の出る確率は2分の1。だから500枚コインを投げると、平均的には250枚表が出ることになる。ここまで、よろしいでしょうか? でも、平均値の通りに250枚出るとは限らない。245枚かもしれないし、270枚かもしれない。もしかしたら、300枚ということも、そうあり得ないことではないのかもしれない。

 こういうときにz値を計算してみるのである。z値とは、平均からのずれを示す指標で、これが0から離れるほど、「あり得ない」ということになる。もっと詳しく言えば、平均値から標準偏差のz値倍だけ、ずれているという意味である。もし、z値が1だったら、平均から標準偏差1個分ずれているということになる。これは、受験のころなじみのある「偏差値」で表すと、偏差値60だということと同じ意味である(偏差値の計算方法は「50+10×z値」)。つまり偏差値60と同じくらいの「あり得なさ」という意味なので、あまり大した「あり得なさ」ではない。もしz値が3だったら、偏差値に直せば80というのと同じ意味なので、これは相当に、「あり得ない」という意味になる。
具体的にz値の計算方法を示すと、
image02.JPG
である。

 ここで、 の上に棒が付いているのは「ヒーロー君が出したコインの表の割合」。今回の場合は300/500で0.6。 は「想定される表の出る確率(平均)」。今回の場合は2分の1。 は投げたコインの数。今回は500となる。これを計算すると、だいたいz=4.47となる。

 これは偏差値に直すと、偏差値95と同じくらい「あり得ない」ことという意味になる。では、具体的にはどれくらいあり得ないのか。どのくらいの確率なのか。

 z値がある値になる確率は、もう統計学者が計算してくれていて、標準正規分布表というものにまとめられている。それによれば、zが1以上になる場合の確率は約15.9%、2以上の確率は、約2.28%。3以上だと0.13%と急激に小さくなっていく。z値が4.47より大きくなる確率はExcelに計算させると、0.000391%程度。つまり、500枚のコインを投げてうち300枚が表になるということが偶然に起きる確率は、0.000391%以下ということで、えらく低い確率だ。

 問題はこの確率をどう解釈するかである。「ヒーロー君は尋常じゃなく引きが強いオトコの中のオトコである」と解釈するか、「ヒーロー君はコインに何らかの細工をして表が出やすくした。つまり、オトコの風上にも置けない卑劣なやつである」と解釈するか。たいていの場合、後者と解釈するだろう。

 さて、いよいよ中国の男女出生比率がどのくらいあり得ないかという話である。中国では一人っ子政策が行われていながら、親が男児をほしがる傾向をもつことにより、非常に大きな男女の出生率差が生じている。前にもこのブログで論じたことがあるが、コンドームと親が男児をほしがるという意思だけでは、男女の出生率は変動しない。男女産み分けの医療技術、堕胎、子殺し、生まれてきた女児を届け出ないなどのことにより、統計にゆがみが生じているのだと考えられる。考えられるのではあるが、しかし、これを検定してみようと思う。

 中国の男女の出生比率は119.9対100だというから、男児が54.525%、女児が45.475%ということになる。一方、何の作為もない場合の人間の男女出生比率は、男児51.2%、女児48.8%だと言われている。しかし、これはあくまでも平均だ。もしかしたら、先のヒーロー君の話のように、偶然にも平均からずれて男児の出生率が高くなっているのではないか。もしかしたら、このくらいの男女出生比率の変動は、統計的にもあり得るのではないか、ということを検証してみようというわけだ。ここでも、先の例と同じようにz値をつかえばいい。

 今回のz値を算出する場合、 には中国の男児の出生比率である0.54525をあてはめる。 は平均の男児の出生比率である0.512を使う。 には中国の年間出生件数である1600万を使う。以上の数値を上記の式にぶち込むと、得られるz値は驚くなかれ、z=266.0766となる。

 思い出してほしいが、z値は、「想定される平均から標準偏差の何個分離れているか」を示すものである。つまり、中国の男女出生比率は、想定される平均から標準偏差にして266個分以上もずれているということになる。これを先ほどと同じように、「偏差値」で表せば、偏差値2710だ。偏差値2710をたたき出すのと同じくらいあり得ないということになる。

 先のヒーロー君の例ではz値が4.47で、その確率は0.000391%だった。ふつう、統計学の教科書に載っている正規分布表は、z値が3くらいまでしか確率が示されていない。それ以上は確率が小さくなりすぎるので、表には載せないのである。z値が大きくなると対応する確率は急激にゼロに近づく。z値が266というのは、エクセルを使って計算しても、確率は0としか表示されない。あまりに小さすぎて、計算できないのだ。つまり、もう絶対的に確率ゼロと言いきっていいくらい、小さい確率である。

 しかし、問題はこの事実の解釈だ。「中国の男女出生比率は統計学的に偶然ではなく、ものすごく強力な作為が働いた結果である」という結論を出すこともできるし、「そもそも自然状態での男児の出生比率が0.512というのが間違いなのでは?」とも考えられる。まあ、たしか0.512という数字が間違っている可能性も考えられなくはない。近年、世界的に男女出生比率が変動しているのではないかという研究もあるそうだ。しかし、0.512という数字が、多少ずれていたとしても、中国の男女出生率比を偶然だとするのは不可能だろう。

 であるからして、この場合は誰でも、前者の結論を出すだろう。つまり、中国では男児を手に入れるために、ものすごく強い力が働いていると結論付けられるのである。中国がいかに4000年の歴史をもっていようと、その歴史の中で、偶然によって男女出生比率のz値がこれほど高い値を示したことは、一度もないと言い切っていい。

2007年5月29日 (火)

なぜ、男があまり女が不足するのか。

 中国では「男あまり女不足」が深刻な問題だそうだ。これは、別に比喩でもなんでもなく、本当に男のほうが多くて、女のほうが少ないという意味である。じっさい、いまも生まれてくる子供の男女比は1対1から相当にずれているという。だいたい生まれてくる子供の54%くらいが男だそうだ。中国では、両親が男の子を求める傾向が強く、さらに一人っ子政策があることがが反映された結果であることは間違いないだろうが、なぜそうなるのだろうか。と
 そこでちょっと、コンドームと「男の子がほしい」という両親の意思だけで、これほどまでに男女比が変化するのかどうか、調べてみた。

 男の子と女の子が生まれてくる確率は、それぞれの出産をとれば、ほぼ2分の1だ(本当はわずかに男子が多いが、いくらなんでも54%ということはない。自然の状態では51.2%程度が男子らしい)。親は男の子がほしい。しかし、産児制限により、生むことのできる子供の数は厳しく制限されている。1人だけというのがもっとも望ましいが、許されても2人までという制限があると考えよう。となると、両親は以下のようなルールで子作りをすることになる。

  ルール1  出産は最大2人まで
  ルール2  男の子が生まれたら、次の子供は生まない。

 すべての両親が、こういうルールの下で子供を生む場合、男児の割合はどのくらいになるだろうか。
 2人の子供を生むとき、第1子、第2子に男または女の生まれる順番には、以下の4通りが考えられる。

  パターンA  男→男
  パターンB  男→女
  パターンC  女→男
  パターンD  女→女

 本来であれば、このパターンA~Dまではすべて均等に起こるはずである(それぞれの確率は4分の1ずつ)。しかし、ルール2があるせいで、パターンAとパターンBは起こらなくなってしまう。AまたはBのばあい、1人目に男児が生まれているので、その両親は2人目は生まないからだ。
 パターンAおよびパターンBになりえた両親は、実際には男の一人っ子を持つことになる。パターンCとパターンDは、ルールがない場合と同じ確率で起こる。
 となると、両親は…

  ●2分の1の確率で男の一人っ子を持ち(パターンA~B)、
  ●4分の1の確率で、第1子=女、第2子=男のきょうだいを持ち(パターンC)、
  ●4分の1の確率で女の子2人を持つ(パターンD)

ことになる。一見、このことによって、男女比がシフトするようにも思える。しかし冷静に考えてみると、そんなことは起こらない。
 この確率のもとでの、平均的な4組の夫婦を考えてみよう。2組は男の一人っ子を、1組は男と女の子供を1人ずつ、もう1組は女の子を2人持つ。この平均的な4組の夫婦の子供は、全部で6人。そのうち、男の子の数は3人である。つまり、男女比は1対1のまま。生まれてくる子供の男女比はコンドームと「男の子がほしい」という両親の意思だけでは変化しないのである。
 実際、確かめてみればわかるが、ルール1を「子供は最大3人まで」とした場合でも、男女比は1対1になる。ということは、中国で起きているほどまでに男女比がシフトするには、やっぱり何か別の理由が必要だ…。
 

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